债券价格受什么影响（涨跌主要受哪些因素影响?）
本文先叙述债券的共同特点，然后说明债券的定价怎样随市场利率而定，即利率和债券价格的数学关系，利用这一关系来解释为什么债券的价格变化向着与要求的收益率的变化相反的方向变动，最后讨论不同的收益率衡量方法以及它们在估价某种投资期限的潜在表现时的含义，同时给出债券的息票利率、当期收益率、到期收益率和其价格之间的关系。最后用实例证明了“利率下降债券价格上升”不完全正确。
一、债券的特点和分类
债券是一种金融契约，该契约是债券发行人和债券持有人之间的合同,这一合同规定了债券发行人的全部义务。息票率、到期期限和面值是债券的内在特征，也是债券契约的组成部分。影响债券现金流量和到期日的因素主要取决于债券契约中的附加选择权，如可赎回债券，债券发行人就具有在规定的到期日之前全部或部分买回债券的权力。所有债券的一个关键特征是它的到期期限，它是指债务停止存在、借款人全部清偿所借金额的日期。
债券的种类繁多，按支付利息的方式不同，可分为固定利息债券和浮动利息债券。按发行主体不同可分为政府债券、公司债券和金融债券三大类。按票面形态划分，可以分为溢价发行，即发行价格高于债券面值；平价发行，即发行价格等于债券面值；贴现发行，即发行价格低于债券面值。贴现发行债券中的一个极端例子就是纯贴现债券，即零息票债券。它没有息票利息，仅在到期时为持有人一次性提供现金收益。实际上，投资者在购买这种债券时就已经得到了利息。零息票债券的期限一般较长，最多可到20年。可是我国债券市场上目前存在的零息票债券的期限都比较短，如简称为04国开07的债券期限只是半年，04国债1和03国债12的期限是1年，3年期的只有02国开09和02国开16。
二、债券的定价
在没有特别说明时，本文所讨论的债券均指不含有期权的债券。
任何金融工具的价格都是其现金流的现值。债券投资是从期望的现金流中获得价值，因为现金流将在未来的期间得到，所以需要将这些现金流折现以获得债券的现值或价格。在一般情况下，债券的市场价值或者说价格，与借款者所承诺支付的利率及同类债券的市场通行的利率有关。
在给出债券价格的计算公式前，为方便分析，假设以下条件满足，息票支付每年进行一次，即这种债券的下一次利息支付，恰好是从现在起1年之后收到，在债券的到期日内息票利息是固定的，最后，由于市场利率会随各种因素的影响而变化，就是说，在实践中，不同时期的现金流会有不同的贴现率，为简化问题，先暂时忽略这一条件，现在假设只有一种利率，它适合于任何到期日现金流的折现。
一、附息债券的定价
附息债券是指债券发行人承诺按照债券的票面利率定期向投资者支付利息，（定期支付的利息凭证称为息票）并在债券到期时，即最后一次付息时必须偿还债券的面值。
一般的，在离散时间下按复利计算，附息债券的价格公式如下：
或者：
其中：
P=债券的价格
n=期间数
C=每期利息值
y=每一期的利率，或称为折现率，也叫做投资者要求的回报率
M=票面值
t=收到支付的次数
Ct=第t次收到的款项
债券在到期前的所有利息收入的现值是：
C/1+y，C/（1+y）^2，……,C/(1+y)^n
我们组成一个等比数列，运用等比数列的求和公式可以得到：
这样公式（2-2）可以表示为
二、零息债券的定价
零息债券在其存续期内不支付利息，投资者收益的获取是通过购买价格和期满值的差额来实现的。它的价格只要用零代替公式（2-1）中的C就可以得到，即：
公式（2-5）说明零息债券的价格就是其票面值的现值。
债券价格与利息率的基本关系是理解债券价格形成的一把钥匙。从公式（2-1）很容易看出：对于在未来确定日期的一个给定未来值，利率（贴现率）越高，债券的价格越低。这是因为今天投资的利率越高，那么为了实现确定的未来值需要投入的钱就会越少。公式（2-1）还揭示了债券价格和其期限之间的关系：对于一个给定的利率（贴现率），债券投资的期限越长，其价格越低。这是因为，投资期限越长，利息积累的机会就越多，所需要的现时投资就会越少。债券的定价公式对于观察各种类型的债券承受风险的一个基本来源，即利率的变化也是重要的，它有助于观察和了解具有不同特性的债券如何响应利率(债券投资风险的首要来源)的变化而变化。
三、债券的收益率
在债券契约中载明了债券所有权的有关条款,但它并未能说明有价证券的价值。投资者购买债券最关心的是债券的收益。债券投资收益的潜在来源是:票面利息、再投资收入及资本损益。
由于债券的品种不一样,就会出现债券的票面利率不同,因此,如果仅根据债券价格和利息数量的绝对值来判断债券收益肯定是不全面的，为了能比较债券的相对吸引力,投资者需比较它们的年回报率。用来描述二级市场上进行交易的债券年回报率的词,是债券的收益率。下面就给出收益率的几种基本类型。
1、当期收益率
当期收益率有时也称为直接收益率,即当年利息收入占购买价格的比率。若c为当期收益率,C为当年债券的利息,P为债券购买的价格,则有:
当期收益率仅考虑了息票利息支付，而没有考虑任何的资本利得（损失）或利息的利息收入对投资者收益的影响，货币的时间价值也被忽略了。该指标对于那些只关心整体收益的投资者来说用处很小，而对于想从投资组合中得到现金流量的调整收入的投资者来说很重要。这样的投资者可能是已经退休的以投资收入为生的人，因为考虑当期的利息收入比较合理。
2、到期收益率
在实际中，投资者购买债券的决策依据并不是债券承诺的收益率。投资者要根据债券的价格、到期日、利息支付额等特征计算债券所能够提供的收益率。这种到期收益率也称为内在回报率,它就是使所有未来票面利息和期满时面值的现值等于该债券市场价格的贴现率。要计算债券的到期收益率，也就是在债券价格既定的前提下，求出债券价格公式中的贴现率。
利用公式(2-4)
如果已知P、C、和n的值，便可以通过试错法运用财务计算器或Excel软件中的相关函数来求y。
到期收益率这一指标，不仅体现了当期的息票收入，又可以衡量债券生命期内价格的上涨或下跌。除此之外，到期收益率还将现金流量的时间性考虑在内。但这一指标也有自身的局限性，即在计算到期收益率时有两个隐含条件，即持有债券到期和息票支付能够按承诺的收益率进行再投资。如果不能同时满足这两个条件，投资者实现的实际收益率将大于或小于到期收益率。所以说，该指标只是衡量回报的理论值。
需要指出的是债券组合的到期收益率不是单个债券到期收益率的简单平均数或加权平均值。计算债券组合的到期收益率涉及以下步骤:首先，将组合中所有债券的市场价格加总;其次，按未来的每个阶段加总组合中所有债券的利息和偿付本金;最后求出使第二步中现金流量的现值与第一步起点时组合的市场价值相等的折现率。
3、持有期收益率
可用于任何投资的测度是持有期收益率。主要思想是:确定一个持有期的利率，然后假定在此期间收到的任何支付能够被再投资，当债券到期或被卖出时所实现的总回报称为持有期收益或已实现收益，这一指标能准确衡量在一定时期内债券持有者究竟能得到多少收益，用公式可以表示成:
h表示债券的年总回报率，PB表示债券的售出价格，PBp表示债券的购买价格，∑C表示债券的票息总额，RI表示票息再投资得到的收入，n表示持有债券的期数。
由于利率变化而引起的债券已实现收益率可能大于或小于承诺的到期收益率，两种收益率之间的偏离就是利率风险。
从以上的分析中可以看出，当给定对未来市场利率的预期及计划投资期时，持有期收益率这一指标是测度债券相对表现的比较有效的方法，但持有期收益率和到期收益率一样也具有不确定性，事后计算持有期回报率是一件相对直接的事，事前来估计它是另一回事。在债券持有期间，任何围绕债券支付的不确定性都必须加以考虑，通过考虑各种不同可能及其概率，可以提供一个期望值，也就是说，一个债券或组合的预期持有期回报率可以通过以概率为权重的不同的可能持有期回报率的加权平均来计算。
四、债券价格波动的特征
收益率、到期时间、息票率、对债券价格的影响
为了采取有效的债券投资策略，有必要理解由利率变化所产生的债券价格波动性的特征，明白哪些因素会影响债券投资的收益率，以及如何量化债券收益率的变动程度。
从公式
可以看出，债券的价格与它的到期时间、息票率、承诺的到期收益率等属性有关，其中任何一种属性的改变，都会改变债券的到期收益率水平，从而影响债券的价格水平。市场利率的变动对债券价格的影响幅度，因债券到期时间、息票率、及到期收益率的不同而有很大的差异。现在用局部均衡的方法，即在假定其它属性不变的情况下，分析某种属性的变化对债券价格的影响。
一、收益率对债券价格的影响
表2-1给出了四种假设的不含有期权的债券在不同的收益率情况下的价格。表中“6%/5年”的含义是票面利率为6%，期限是5年。假设债券最初的收益率为6%，当收益率变动时，它们瞬间的价格变动的百分比如表2-2所示。
由表2-1和表2-2可以看出,当收益率变动时,债券的价格会相应的变动。为什么会这样呢?这是因为在一个竞争性的市场中，所有证券提供给投资者的预期收益率应是相当的，因此债券的价格会对利率的波动作出反映，而且其价格的变化方向与其要求的收益率变化的方向相反，即当要求的收益率增加时，现金流的现值便减少，因此价格便下跌;当要求的收益率减少时，现金流的现值增加，因此债券价格便上涨。
不含有期权的债券的价格—收益率关系如图2-1所示。该图所显示的是“弓形”形状，这种形状叫凸形。价格—收益率曲线关系的凸性对于债券的投资特征具有重要的意义。
由表2-1和表2-2的数据及图2-1可以得出收益率的变动对债券价格变动的影响有以下的特征：
1．虽然债券的价格与收益率呈反向变化，但对于相同的收益率变化，属性不同（如到期时间和息票率不同）的债券的价格变化的百分比却不相同。
2.同一种债券，对于要求的收益率的微小变化，不管是上升还是下降，其价格将作大致相同幅度的百分比变动。
3．同一种债券，对于要求的收益率的较大变化，其上升和下降引起的价格变动的百分比不一样。
4.同一种债券，对于给定的要求的收益率的较大变化，其价格上升的百分比大于其下降的百分比。
5．对于给定的收益率的变动，当市场上收益率水平较低时，价格波动性比较大，当市场上收益率水平较高时，价格波动性比较小，见图2-2。
其中特征3和4是由债券的价格—收益率关系的凸性引起的。特征4的具体含义是，如果投资者持有某种债券，收益率下降时所导致的价格升水大于收益率上升同样基点(100个基点相当于1%)时所导致的资本损失。
二、到期时间对债券价格的影响
(一)期限对收益率的影响
债券的价格在其生命周期中会随市场利率的变化而不断波动，一种债券所剩时间被称为到期期限，债券价格的变动依赖于其期限的长短。具体来说，就是在其他因素不变时，一种债券的到期年限越长，市场利率变动时其价格波动幅度越大。
从表2-2中可以看到，假设最初的收益率为6%，当收益率降为4%时，息票率均为6%的5年期和20年期的债券价格的升幅分别是8.98%和27.3%,相差18.32%;而当收益率上升为8%时，这两种债券价格变化的百分比的绝对值分别是8.11%和19.79%。这说明:给定息票率和最初的收益率，对于相同基点的利率变化，长期债券价格变化的幅度要大于短期债券。这一现象也可从对债券的定价公式(2-4）的分析中得到解释。公式(2-4）表明,给定一个利率变化值，价格随之改变的量是到期年数的一个函数。对于长期债券，折现率的一个变化被累积地作用于整个票息支付序列中，而且在到期日面值的支付要以新的利率跨过整个期间折现，因此其价格会发生相当大的变化。然而对于短期债券，新的折现率仅仅作用于几次利息支付，对于面值金额也只是作用了很短的时期。
（二）期限与再投资风险
债券的到期时间越长，再投资的风险也就越大，从而会影响投资的总收益。就长期债券而言，利息的利息收入占据了债券潜在收益的较大份额,有时可能高到债券潜在收益的80%，这可以从下面的一组数据中得到验证。
表2-3表示了面值为1000元，为了实现复利收益率9%的平价债券在不同期限下利生利的大小。这里是假定每半年支付一次票息。例如，到期期限是5年的话，为了使5年间资产以复利9%增长，1000元最终要累积达到1000x（1+0.09/2）^10=1553元。也就是说，有一个增值的回报是553元。5年的利息收入是450元，这103元的差额只有将利息再投资才能弥补。表2-3清楚地说明了再投资风险的大小随着投资组合中债券期限的增长而增加4。因此，长期债券具有更多的承担利率风险成分，期限是影响债券利率风险的一个重要因素。
三、息票率对债券价格的影响
(一）息票利率对债券价格波动的影响
从表2-2可以看出，给定了到期时间和初始收益率，对于相同的收益率的改变，其中息票率较低的债券的价格波动的百分比大于息票率较高的债券的价格波动的百分比。例如，当收益率由6%降为4%时，5年期、息票率为6%的债券的价格上升8.98%，而同是5年期、息票率为9%的债券的价格上升8.57%，相差0.41%。类似地，当收益率由6%升为8%时，5年期、息票率为6%的债券的价格下降8.11%，而同是5年期、息票率为9%的债券的价格下降7.75%，相差0.36%。
(二）不同的收益率和债券价格间的关系
若资本市场是有效的，经过税负调节和风险因素的调整后，任何债券向投资者提供的收益率应该是相等的。否则，投资者就会卖掉收益率低的债券，买入收益率高的债券，导致相应价格的下降或上升，直到各种债券收益率相等为止。当市场收益率变化时，针对新的市场应计收益率，债券价格是对投资者进行补偿的唯一可变的变量。若债券息票利率等于市场利率，投资者资金的时间价值通过利息收入能得到补偿，债券会按面值出售,即平价出售。若息票利率低于市场利率，利息支付不足以补偿资金的时间价值，投资者还需从债券价格的升值中获得资本收益，债券就会折价出售。若息票利率高于市场利率，债券必须以高于票面值的价格出售，即溢价出售。这是因为有机会以票面值购买债券的投资者将得到多于市场应计的收益率，这高出的收益率就会导致投资者抬高价格，债券价格便将一直上升到债券产生的收益率和市场应计收益率相等时为止。以上所得出的收益率和债券价格之间的关系也可以从下面的数学推导中反映出来:
从公式（2-4）可以得到：
在等式（2-8）的两边同时除以Р并变形后可得到:
当M=P时，y=C/P=C/M
当M>P时，C/M
当M
C/P>y
这里的C/P就是前文中提到的当期收益率，C/M就是债券的息票利率，y是债券的到期收益率。上面论证的息票利率、当期收益率、到期收益率和债券价格之间的关系可以用表2-4来反映。
债券价格行为的一个重要方面，就是在到期时债券价格必须等于其面值，这被称作收敛于面值现象。如果收益曲线是水平的，即在利率不变的条件下，随着债券到期日的趋近，当债券价格由预期收益率确定的现值决定时，没有违约风险的折价债券的价格将会随时间的推移而上升，预期的资本收益能够补足息票率与预期收益率的差异;相反，溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消了较高的利息收入，投资者仍然获得相当于预期收益率的收益率。图2-3反映了这两种债券的价格变动轨迹。
由前面的分析可以看出，债券价格的变化是由一个或多个因素的影响而产生的，归纳起来主要有以下几点:
(一）由于债券发行者信用质量的变化而使投资者要求的收益率发生了变化;
(二)要求的收益率没任何变化，只是因为债券日益接近于到期，使得按某种溢价或折价出售的债券的价格发生了变化;(三）由于一些可比债券的收益率发生了变化，要求的收益率发生了变化，即市场利率发生了变化。
以上的分析表明，影响利率风险的主要因素除了期限长度外，还有息票利率和到期收益率水平，单单一个期限不足以测度利率的敏感性。
五、债券价格波动特征的数学证明
证明5个问题
1．债券价格与收益率的变动成反向关系。证明:在公式（2-2）
两边对y求导可得:
2．债券到期收益率的上升导致其价格下降的幅度小于收益率等规模降低相对应的价格上升的幅度，即由相同幅度的到期收益率的绝对变化带来的价格变化是非对称的。
证明:价格与收益率之间的函数关系是P= f(y)，其曲线的斜率
∂P/∂Y是一个负值,当 y 增加时,曲线变得较平坦。为了说明价格的非对称性变化只要证明
就可以了.
在(1)式中对 y 求导,得到:
3．在给定利率变化水平下，长期债券的价格比短期债券的价格的波动性大。
证明,要证明上述结论,也就是要确定式子
的符号,其中y0是息票利率。
事实上，当y=y0时候，P=M,
公式(2-4）
可以变形为:
在（2）式两边对n求导，有:
当y0。这说明，当市场提供的收益率低于息票利率时，债券的价格会上升，价格上升的幅度随着到期期限的增加而增加。
当y>y0，即y>C/M,,由表 2—4 可知,债券折价出售, 有C/y -M
4．随着到期期限的增加，债券价格变动的百分比以一个下降的速率增加。换句话说，利率风险与债券期限不成比例，而是滞后于这个比例的变化。
证明:在（3）式两边对n求导，得到
与结论2证明中的理由相同，当yy0时，
，即债券价格是随着到期期限的增加以一个递减的速率下降的。
5．利率风险与债券的息票利率呈反向关系。高息票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相比，前者对利率的敏感性较低。一年期公债和统一公债除外。（统一公债即永久债券，它的久期为1+y/y，与息票率无关。）
证明：式子
的结果是反映利率变动 1%时价格变动的百分率，即价格对利率变动的弹性但利率和价格变动的方向是相反的。要证明结论 5，只要证明对于有限的 n≥2，
就可以了。
在（2-4）式子
两边对 y 求导并整理得：
利用（2-4）式表达价格P，在等式(4）的两边乘以y/P并化简得到:
在等式(5)两边对 C 求导并化简,得
当n=1及n趋于无穷大时，(6）式的值是0。下面用数学归纳法证明当n≥2时，(6）式的值是正值，为此，不妨记
由以上的推理可以得到
六、国债000696的价格波动分析
说明“利率下降债券价格上升”不完全正确
国债000696的基本情况如表2-5所示。
该券自1996年7月12日上市后，随着利率的频繁调整（1996年开始的一年期储蓄利率变动情况如表2-6所示)，其价格也在大幅度地波动，它的价格变化可以划分为三个阶段，见表2-7。
第一个阶段从上市日(1996年7月12日）到1999年6月中旬。1996年5月1日至1999年6月10日,官方将基准利率(1年期储蓄存款利率)连续大幅调低,从9.18%调到2.25%,累计幅度达到6.93%。在这样的背景下，因为市场利率显著下降，债券价格主要呈现出大幅上升趋势，上升的幅度达到了55.67%。1999年6月10日的最高价是167元，1996年7月12日的最低价是119.1元,振幅为59.05%。
第二阶段，从1999年6月到2002年2月，官方利率继续下调，累计幅度(包括1999年11月1日起征20%利息税）大约0.666%。虽然如此，和第一阶段相比，利率变动幅度已经明显减小，因此，本阶段总的价格走势基本反映了累计票息效应和价格收敛效应的叠加，具有向下倾斜的锯齿状曲线的清晰轮廓。
第三阶段始于2002年3月25日，交易所采取净价报价，实际上相当于价格收敛效应和净价效应综合的收敛价格曲线，呈向下倾斜的直线。
这里要说明的是，在上述第二阶段，市场利率和国债收益率曲线是继续下降的，但是96国债的总体价格走势竟然也是逐步下降的，这似乎不符合“利率下降，债券价格上升”的说法，其实并不是这种说法不对，而是应从两次付息日之间的时间范围来看，利率走低引起的价格上升效应小于价格收敛引起的价格下降效应。(全价交易和净价交易下债券的价格走势是有区别的。由于前者包含了利息因素，而利息是与日积累的，全价交易下的债券价格走势就是逐步上升的，到除息日留下一个缺口。而净价交易下债券价格围绕其面值上下波动，反映了市场利率与该债券票面利率之间的差距。相对而言，净价交易更能反映出市场利率调整对债券价格的影响。)由此可见，“利率下降债券价格上升”是不准确的，仅仅适用于平价券的情况。96国债价格变动的直观表现见图2-4（该图是选取了1996年7月12日到2004年4月1日每日的收盘价，共1851个数据绘制而成的)。
价格和收益率之间虽呈反向关系，但随机性很强
由国泰君安网站获得2004年3月28日的固定息票的国债价格和收益率的数据，见表2-8。
根据表2-8的数据可以得到图2-5。
从图2-5可以看出,我国的国债市场上价格和收益率之间虽呈反向关系，但随机性很强，价格收益率曲线较平坦，说明凸性比较小。笔者认为造成这种现象的原因主要有以下几点:
首先，我国的国债品种少，短期债发行量和发行规模特别小，3个月和1年期短期债券品种基本是空白，20年、30年期债券分别于2002、2003才开始发行。市场交易主体单一，交易方式和工具也比较单一，还没有形成合理的利率期限结构，导致市场价格出现偏差，债券的定价过程有待改进。
第二，国债市场上真正的机构投资者缺乏，买卖国债的参与者不是把定价建立在由模型进行的科学预测上，而是主要建立在主观判断的基础上。
第三，债券市场制度的不完善，使得非真实性交易大量存在，有部分成员通过虚假的做市交易来误导投资者。（非真实性交易产生的主要原因:对倒交易盛行，主要目的在于增加交易量。因为现券交易量关乎优秀交易成员、结算成员的评选，是申报承销商和一级交易商的一个重要条件，也是市场成员提高市场形象的一大捷径。另外，有部分成员通过虚假的做市交易来误导投资者。）
或者：
其中：
P=债券的价格
n=期间数
C=每期利息值
y=每一期的利率，或称为折现率，也叫做投资者要求的回报率
M=票面值
t=收到支付的次数
Ct=第t次收到的款项
债券在到期前的所有利息收入的现值是：
C/1+y，C/（1+y）^2，……,C/(1+y)^n
我们组成一个等比数列，运用等比数列的求和公式可以得到：
这样公式（2-2）可以表示为
二、零息债券的定价
零息债券在其存续期内不支付利息，投资者收益的获取是通过购买价格和期满值的差额来实现的。它的价格只要用零代替公式（2-1）中的C就可以得到，即：
公式（2-5）说明零息债券的价格就是其票面值的现值。
债券价格与利息率的基本关系是理解债券价格形成的一把钥匙。从公式（2-1）很容易看出：对于在未来确定日期的一个给定未来值，利率（贴现率）越高，债券的价格越低。这是因为今天投资的利率越高，那么为了实现确定的未来值需要投入的钱就会越少。公式（2-1）还揭示了债券价格和其期限之间的关系：对于一个给定的利率（贴现率），债券投资的期限越长，其价格越低。这是因为，投资期限越长，利息积累的机会就越多，所需要的现时投资就会越少。债券的定价公式对于观察各种类型的债券承受风险的一个基本来源，即利率的变化也是重要的，它有助于观察和了解具有不同特性的债券如何响应利率(债券投资风险的首要来源)的变化而变化。
三、债券的收益率
在债券契约中载明了债券所有权的有关条款,但它并未能说明有价证券的价值。投资者购买债券最关心的是债券的收益。债券投资收益的潜在来源是:票面利息、再投资收入及资本损益。
由于债券的品种不一样,就会出现债券的票面利率不同,因此,如果仅根据债券价格和利息数量的绝对值来判断债券收益肯定是不全面的，为了能比较债券的相对吸引力,投资者需比较它们的年回报率。用来描述二级市场上进行交易的债券年回报率的词,是债券的收益率。下面就给出收益率的几种基本类型。
1、当期收益率
当期收益率有时也称为直接收益率,即当年利息收入占购买价格的比率。若c为当期收益率,C为当年债券的利息,P为债券购买的价格,则有:
当期收益率仅考虑了息票利息支付，而没有考虑任何的资本利得（损失）或利息的利息收入对投资者收益的影响，货币的时间价值也被忽略了。该指标对于那些只关心整体收益的投资者来说用处很小，而对于想从投资组合中得到现金流量的调整收入的投资者来说很重要。这样的投资者可能是已经退休的以投资收入为生的人，因为考虑当期的利息收入比较合理。
2、到期收益率
在实际中，投资者购买债券的决策依据并不是债券承诺的收益率。投资者要根据债券的价格、到期日、利息支付额等特征计算债券所能够提供的收益率。这种到期收益率也称为内在回报率,它就是使所有未来票面利息和期满时面值的现值等于该债券市场价格的贴现率。要计算债券的到期收益率，也就是在债券价格既定的前提下，求出债券价格公式中的贴现率。
利用公式(2-4)
如果已知P、C、和n的值，便可以通过试错法运用财务计算器或Excel软件中的相关函数来求y。
到期收益率这一指标，不仅体现了当期的息票收入，又可以衡量债券生命期内价格的上涨或下跌。除此之外，到期收益率还将现金流量的时间性考虑在内。但这一指标也有自身的局限性，即在计算到期收益率时有两个隐含条件，即持有债券到期和息票支付能够按承诺的收益率进行再投资。如果不能同时满足这两个条件，投资者实现的实际收益率将大于或小于到期收益率。所以说，该指标只是衡量回报的理论值。
需要指出的是债券组合的到期收益率不是单个债券到期收益率的简单平均数或加权平均值。计算债券组合的到期收益率涉及以下步骤:首先，将组合中所有债券的市场价格加总;其次，按未来的每个阶段加总组合中所有债券的利息和偿付本金;最后求出使第二步中现金流量的现值与第一步起点时组合的市场价值相等的折现率。
3、持有期收益率
可用于任何投资的测度是持有期收益率。主要思想是:确定一个持有期的利率，然后假定在此期间收到的任何支付能够被再投资，当债券到期或被卖出时所实现的总回报称为持有期收益或已实现收益，这一指标能准确衡量在一定时期内债券持有者究竟能得到多少收益，用公式可以表示成:
h表示债券的年总回报率，PB表示债券的售出价格，PBp表示债券的购买价格，∑C表示债券的票息总额，RI表示票息再投资得到的收入，n表示持有债券的期数。
由于利率变化而引起的债券已实现收益率可能大于或小于承诺的到期收益率，两种收益率之间的偏离就是利率风险。
从以上的分析中可以看出，当给定对未来市场利率的预期及计划投资期时，持有期收益率这一指标是测度债券相对表现的比较有效的方法，但持有期收益率和到期收益率一样也具有不确定性，事后计算持有期回报率是一件相对直接的事，事前来估计它是另一回事。在债券持有期间，任何围绕债券支付的不确定性都必须加以考虑，通过考虑各种不同可能及其概率，可以提供一个期望值，也就是说，一个债券或组合的预期持有期回报率可以通过以概率为权重的不同的可能持有期回报率的加权平均来计算。
四、债券价格波动的特征
收益率、到期时间、息票率、对债券价格的影响
为了采取有效的债券投资策略，有必要理解由利率变化所产生的债券价格波动性的特征，明白哪些因素会影响债券投资的收益率，以及如何量化债券收益率的变动程度。
从公式
可以看出，债券的价格与它的到期时间、息票率、承诺的到期收益率等属性有关，其中任何一种属性的改变，都会改变债券的到期收益率水平，从而影响债券的价格水平。市场利率的变动对债券价格的影响幅度，因债券到期时间、息票率、及到期收益率的不同而有很大的差异。现在用局部均衡的方法，即在假定其它属性不变的情况下，分析某种属性的变化对债券价格的影响。
一、收益率对债券价格的影响
表2-1给出了四种假设的不含有期权的债券在不同的收益率情况下的价格。表中“6%/5年”的含义是票面利率为6%，期限是5年。假设债券最初的收益率为6%，当收益率变动时，它们瞬间的价格变动的百分比如表2-2所示。
由表2-1和表2-2可以看出,当收益率变动时,债券的价格会相应的变动。为什么会这样呢?这是因为在一个竞争性的市场中，所有证券提供给投资者的预期收益率应是相当的，因此债券的价格会对利率的波动作出反映，而且其价格的变化方向与其要求的收益率变化的方向相反，即当要求的收益率增加时，现金流的现值便减少，因此价格便下跌;当要求的收益率减少时，现金流的现值增加，因此债券价格便上涨。
不含有期权的债券的价格—收益率关系如图2-1所示。该图所显示的是“弓形”形状，这种形状叫凸形。价格—收益率曲线关系的凸性对于债券的投资特征具有重要的意义。
由表2-1和表2-2的数据及图2-1可以得出收益率的变动对债券价格变动的影响有以下的特征：
1．虽然债券的价格与收益率呈反向变化，但对于相同的收益率变化，属性不同（如到期时间和息票率不同）的债券的价格变化的百分比却不相同。
2.同一种债券，对于要求的收益率的微小变化，不管是上升还是下降，其价格将作大致相同幅度的百分比变动。
3．同一种债券，对于要求的收益率的较大变化，其上升和下降引起的价格变动的百分比不一样。
4.同一种债券，对于给定的要求的收益率的较大变化，其价格上升的百分比大于其下降的百分比。
5．对于给定的收益率的变动，当市场上收益率水平较低时，价格波动性比较大，当市场上收益率水平较高时，价格波动性比较小，见图2-2。
其中特征3和4是由债券的价格—收益率关系的凸性引起的。特征4的具体含义是，如果投资者持有某种债券，收益率下降时所导致的价格升水大于收益率上升同样基点(100个基点相当于1%)时所导致的资本损失。
二、到期时间对债券价格的影响
(一)期限对收益率的影响
债券的价格在其生命周期中会随市场利率的变化而不断波动，一种债券所剩时间被称为到期期限，债券价格的变动依赖于其期限的长短。具体来说，就是在其他因素不变时，一种债券的到期年限越长，市场利率变动时其价格波动幅度越大。
从表2-2中可以看到，假设最初的收益率为6%，当收益率降为4%时，息票率均为6%的5年期和20年期的债券价格的升幅分别是8.98%和27.3%,相差18.32%;而当收益率上升为8%时，这两种债券价格变化的百分比的绝对值分别是8.11%和19.79%。这说明:给定息票率和最初的收益率，对于相同基点的利率变化，长期债券价格变化的幅度要大于短期债券。这一现象也可从对债券的定价公式(2-4）的分析中得到解释。公式(2-4）表明,给定一个利率变化值，价格随之改变的量是到期年数的一个函数。对于长期债券，折现率的一个变化被累积地作用于整个票息支付序列中，而且在到期日面值的支付要以新的利率跨过整个期间折现，因此其价格会发生相当大的变化。然而对于短期债券，新的折现率仅仅作用于几次利息支付，对于面值金额也只是作用了很短的时期。
（二）期限与再投资风险
债券的到期时间越长，再投资的风险也就越大，从而会影响投资的总收益。就长期债券而言，利息的利息收入占据了债券潜在收益的较大份额,有时可能高到债券潜在收益的80%，这可以从下面的一组数据中得到验证。
表2-3表示了面值为1000元，为了实现复利收益率9%的平价债券在不同期限下利生利的大小。这里是假定每半年支付一次票息。例如，到期期限是5年的话，为了使5年间资产以复利9%增长，1000元最终要累积达到1000x（1+0.09/2）^10=1553元。也就是说，有一个增值的回报是553元。5年的利息收入是450元，这103元的差额只有将利息再投资才能弥补。表2-3清楚地说明了再投资风险的大小随着投资组合中债券期限的增长而增加4。因此，长期债券具有更多的承担利率风险成分，期限是影响债券利率风险的一个重要因素。
三、息票率对债券价格的影响
(一）息票利率对债券价格波动的影响
从表2-2可以看出，给定了到期时间和初始收益率，对于相同的收益率的改变，其中息票率较低的债券的价格波动的百分比大于息票率较高的债券的价格波动的百分比。例如，当收益率由6%降为4%时，5年期、息票率为6%的债券的价格上升8.98%，而同是5年期、息票率为9%的债券的价格上升8.57%，相差0.41%。类似地，当收益率由6%升为8%时，5年期、息票率为6%的债券的价格下降8.11%，而同是5年期、息票率为9%的债券的价格下降7.75%，相差0.36%。
(二）不同的收益率和债券价格间的关系
若资本市场是有效的，经过税负调节和风险因素的调整后，任何债券向投资者提供的收益率应该是相等的。否则，投资者就会卖掉收益率低的债券，买入收益率高的债券，导致相应价格的下降或上升，直到各种债券收益率相等为止。当市场收益率变化时，针对新的市场应计收益率，债券价格是对投资者进行补偿的唯一可变的变量。若债券息票利率等于市场利率，投资者资金的时间价值通过利息收入能得到补偿，债券会按面值出售,即平价出售。若息票利率低于市场利率，利息支付不足以补偿资金的时间价值，投资者还需从债券价格的升值中获得资本收益，债券就会折价出售。若息票利率高于市场利率，债券必须以高于票面值的价格出售，即溢价出售。这是因为有机会以票面值购买债券的投资者将得到多于市场应计的收益率，这高出的收益率就会导致投资者抬高价格，债券价格便将一直上升到债券产生的收益率和市场应计收益率相等时为止。以上所得出的收益率和债券价格之间的关系也可以从下面的数学推导中反映出来:
从公式（2-4）可以得到：
在等式（2-8）的两边同时除以Р并变形后可得到:
当M=P时，y=C/P=C/M
当M>P时，C/M
当M
C/P>y
这里的C/P就是前文中提到的当期收益率，C/M就是债券的息票利率，y是债券的到期收益率。上面论证的息票利率、当期收益率、到期收益率和债券价格之间的关系可以用表2-4来反映。
债券价格行为的一个重要方面，就是在到期时债券价格必须等于其面值，这被称作收敛于面值现象。如果收益曲线是水平的，即在利率不变的条件下，随着债券到期日的趋近，当债券价格由预期收益率确定的现值决定时，没有违约风险的折价债券的价格将会随时间的推移而上升，预期的资本收益能够补足息票率与预期收益率的差异;相反，溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消了较高的利息收入，投资者仍然获得相当于预期收益率的收益率。图2-3反映了这两种债券的价格变动轨迹。
由前面的分析可以看出，债券价格的变化是由一个或多个因素的影响而产生的，归纳起来主要有以下几点:
(一）由于债券发行者信用质量的变化而使投资者要求的收益率发生了变化;
(二)要求的收益率没任何变化，只是因为债券日益接近于到期，使得按某种溢价或折价出售的债券的价格发生了变化;(三）由于一些可比债券的收益率发生了变化，要求的收益率发生了变化，即市场利率发生了变化。
以上的分析表明，影响利率风险的主要因素除了期限长度外，还有息票利率和到期收益率水平，单单一个期限不足以测度利率的敏感性。
五、债券价格波动特征的数学证明
证明5个问题
1．债券价格与收益率的变动成反向关系。证明:在公式（2-2）
两边对y求导可得:
2．债券到期收益率的上升导致其价格下降的幅度小于收益率等规模降低相对应的价格上升的幅度，即由相同幅度的到期收益率的绝对变化带来的价格变化是非对称的。
证明:价格与收益率之间的函数关系是P= f(y)，其曲线的斜率
∂P/∂Y是一个负值,当 y 增加时,曲线变得较平坦。为了说明价格的非对称性变化只要证明
就可以了.
在(1)式中对 y 求导,得到:
3．在给定利率变化水平下，长期债券的价格比短期债券的价格的波动性大。
证明,要证明上述结论,也就是要确定式子
的符号,其中y0是息票利率。
事实上，当y=y0时候，P=M,
公式(2-4）
可以变形为:
在（2）式两边对n求导，有:
当y0。这说明，当市场提供的收益率低于息票利率时，债券的价格会上升，价格上升的幅度随着到期期限的增加而增加。
当y>y0，即y>C/M,,由表 2—4 可知,债券折价出售, 有C/y -M
4．随着到期期限的增加，债券价格变动的百分比以一个下降的速率增加。换句话说，利率风险与债券期限不成比例，而是滞后于这个比例的变化。
证明:在（3）式两边对n求导，得到
与结论2证明中的理由相同，当yy0时，
，即债券价格是随着到期期限的增加以一个递减的速率下降的。
5．利率风险与债券的息票利率呈反向关系。高息票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相比，前者对利率的敏感性较低。一年期公债和统一公债除外。（统一公债即永久债券，它的久期为1+y/y，与息票率无关。）
证明：式子
的结果是反映利率变动 1%时价格变动的百分率，即价格对利率变动的弹性但利率和价格变动的方向是相反的。要证明结论 5，只要证明对于有限的 n≥2，
就可以了。
在（2-4）式子
两边对 y 求导并整理得：
利用（2-4）式表达价格P，在等式(4）的两边乘以y/P并化简得到:
在等式(5)两边对 C 求导并化简,得
当n=1及n趋于无穷大时，(6）式的值是0。下面用数学归纳法证明当n≥2时，(6）式的值是正值，为此，不妨记
由以上的推理可以得到
六、国债000696的价格波动分析
说明“利率下降债券价格上升”不完全正确
国债000696的基本情况如表2-5所示。
该券自1996年7月12日上市后，随着利率的频繁调整（1996年开始的一年期储蓄利率变动情况如表2-6所示)，其价格也在大幅度地波动，它的价格变化可以划分为三个阶段，见表2-7。
第一个阶段从上市日(1996年7月12日）到1999年6月中旬。1996年5月1日至1999年6月10日,官方将基准利率(1年期储蓄存款利率)连续大幅调低,从9.18%调到2.25%,累计幅度达到6.93%。在这样的背景下，因为市场利率显著下降，债券价格主要呈现出大幅上升趋势，上升的幅度达到了55.67%。1999年6月10日的最高价是167元，1996年7月12日的最低价是119.1元,振幅为59.05%。
第二阶段，从1999年6月到2002年2月，官方利率继续下调，累计幅度(包括1999年11月1日起征20%利息税）大约0.666%。虽然如此，和第一阶段相比，利率变动幅度已经明显减小，因此，本阶段总的价格走势基本反映了累计票息效应和价格收敛效应的叠加，具有向下倾斜的锯齿状曲线的清晰轮廓。
第三阶段始于2002年3月25日，交易所采取净价报价，实际上相当于价格收敛效应和净价效应综合的收敛价格曲线，呈向下倾斜的直线。
这里要说明的是，在上述第二阶段，市场利率和国债收益率曲线是继续下降的，但是96国债的总体价格走势竟然也是逐步下降的，这似乎不符合“利率下降，债券价格上升”的说法，其实并不是这种说法不对，而是应从两次付息日之间的时间范围来看，利率走低引起的价格上升效应小于价格收敛引起的价格下降效应。(全价交易和净价交易下债券的价格走势是有区别的。由于前者包含了利息因素，而利息是与日积累的，全价交易下的债券价格走势就是逐步上升的，到除息日留下一个缺口。而净价交易下债券价格围绕其面值上下波动，反映了市场利率与该债券票面利率之间的差距。相对而言，净价交易更能反映出市场利率调整对债券价格的影响。)由此可见，“利率下降债券价格上升”是不准确的，仅仅适用于平价券的情况。96国债价格变动的直观表现见图2-4（该图是选取了1996年7月12日到2004年4月1日每日的收盘价，共1851个数据绘制而成的)。
价格和收益率之间虽呈反向关系，但随机性很强
由国泰君安网站获得2004年3月28日的固定息票的国债价格和收益率的数据，见表2-8。
根据表2-8的数据可以得到图2-5。
从图2-5可以看出,我国的国债市场上价格和收益率之间虽呈反向关系，但随机性很强，价格收益率曲线较平坦，说明凸性比较小。笔者认为造成这种现象的原因主要有以下几点:
首先，我国的国债品种少，短期债发行量和发行规模特别小，3个月和1年期短期债券品种基本是空白，20年、30年期债券分别于2002、2003才开始发行。市场交易主体单一，交易方式和工具也比较单一，还没有形成合理的利率期限结构，导致市场价格出现偏差，债券的定价过程有待改进。
第二，国债市场上真正的机构投资者缺乏，买卖国债的参与者不是把定价建立在由模型进行的科学预测上，而是主要建立在主观判断的基础上。
第三，债券市场制度的不完善，使得非真实性交易大量存在，有部分成员通过虚假的做市交易来误导投资者。（非真实性交易产生的主要原因:对倒交易盛行，主要目的在于增加交易量。因为现券交易量关乎优秀交易成员、结算成员的评选，是申报承销商和一级交易商的一个重要条件，也是市场成员提高市场形象的一大捷径。另外，有部分成员通过虚假的做市交易来误导投资者。）
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